Kütleli spin-1/2 parçacıkların hareketini ifade etmek için Dirac denklemi kullanılır. İkisi
pozitif enerji, ikisi de negatif enerji çözümlerine ait olmak üzere Dirac denkleminin dört
tane çözümü vardır. Kuantum mekaniksel olarak parçacıkların hareketi dalga paketi
kurularak ifade edilmektedir. Fakat negatif enerji çözümlerinin de olması parçacık
yorumunu zorlaştırır. Bu nedenle relativistik olmayan yarı klasik dinamiği, Dirac
denkleminin pozitif enerji çözümlerini içeren dalga paketi oluşturarak elde edeceğim.
Yarı klasik limit bazı kuantum mekaniksel etkileri daha iyi anlamak için yararlı
olabilecek bir yöntemdir. Dirac denkleminde kütlesiz limite gidildiğinde kiral ya
da Weyl parçacığı adı verilen parçacıkların hareketini ifade eden denklem elde
edilmiş olur. Son zamanlardaki çalışmalarda, 3 + 1 boyutta, dış elektromanyetik
alan nedeniyle oluşan anomali terimlerinin kiral parçacıklarının yarı klasik kinetik
kuramında nasıl yerleştirilebileceği gösterilmiştir. Yüksek boyutta genelleştirilmiş
hareket denklemlerinin, faz uzayı değişkenlerine bağlı çözümlerini de tam olarak veren
yöntem matris değerlidir. Bu yöntemde diğerlerinden farklı olarak faz uzayı değişkenleri
konum ve momentumdur, spine karşı gelen klasik bir nicelik yoktur. Klasik faz uzayı
değişkenleri matris olmadıkları halde hareket denklemleri ile bulunan hız değişkenleri
matris değerlidir. Matrislerin "spin indisleri" farklı pozitif çözümlere karşılık gelir.
Kiral kinetik kuramının yarı klasik formalizminin en önemli bileşenlerinden biri kuantum
mekaniksel bir faz faktörü olan Berry fazını veren Berry ayar alanlarıdır. Kuantum
mekaniksel bir sistemde, Hamilton yoğunluğunun bağlı olduğu dış parametreler, bunlar
elektrik ve manyetik alan olarak düşünülebilir, çok yavaş değiştirildiğinde adiyabatik
kurama göre, sistemin kuantum durumu değişmez. Burada bahsedilen yavaş değişim,
parametrelerin çevrimsel bir eğri üzerinde hareket etmesi olarak ifade edilebilir. Bu
kapalı eğri tamamlandığında sistemdeki durum vektörü bir faz kazanır. Bu faz dinamik ve
geometrik iki kısımdan oluşmaktadır. Adiyabatik değişim altındayken, durum vektörünün
kazandığı geometrik faz çarpanına Berry fazı denir. Berry ayar alanlarının eğriliği
kuantum mekaniksel bir faz çarpanı olan Berry fazını verir.
Bu yöntemle birinci derece Lagrange yoğunluğu ile yarıklasik Hamilton dinamiğini elde
etmek için ilk olarak yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğu verilmelidir. Yarı
klasik Hamilton yoğunluğunu köşegenleştirecek uniter matris dönüşümünün Planck sabiti
bölü 2pi, h-bar, ye göre birinci mertebe tüm terimleri verecek şekilde yazılması gerekir.
Dalga paketi ve diferansiyel formlar kullanılarak Dirac parçacıklarının yarı klasik
kinetik kuramı elde edilebilir. Bu yöntemin bazı avantajları bulunmaktadır. Öncelikle,
formalizmde spin özgürlük derecesine karşılık gelen klasik bir nicelik bulunmadığı için
hareket denklemlerinin faz uzayı hızlarının faz değişkenleri cinsinden veren çözümleri
açıkça bulunabilir. Böylece parçacık akısı rahatlıkla yazılabilir.
Tez kapsamında, öncelikle elektromanyetik alan içindeki kütleli spin-1/2 parçacıklar
için Dirac Hamilton yoğunluğunu blok köşegen hale getireceğim. Dalga paketi ve diferansiyel form yöntemiyle hareket denklemlerini ve çözümlerini bulacağım. Burada
faz uzayı değişkenlerinin hız denklemi çözümleriyle hesaplanan, hız denklemlerinin
faz uzayı değişkenlerine bağlı çözümleridir. Bu denklemlerin elde edilişi sırasında
denklemlerimizin içine Berry ayar alanlarının girdiğini göreceğiz. Daha sonra yarı klasik
Dirac parçacıkları için dağılım fonksiyonunu uygun bazda yazıp süreklilik denklemini
bulacağım. Kütleli fermiyonlar için elde ettiğim hareket denklemlerinin çözümlerinde
kütlesiz limite giderek ve baz değiştirerek elektromanyetik alandaki Weyl parçacıklarının
hareket denklemlerinin çözümlerine ulaşacağım. Thomas presesyonun ne olduğunu
anlatıp incelediğim yarı klasik formalizmde Thomas presesyonunun elde ettiğim hız
denklemlerine nasıl bir katkı yapacağını inceleyeceğim. Son olarak ise elektromanyetik
alan altındaki yarı klasik Dirac parçacığının spinin zaman içindeki değişimini veren
denklemi bulacağım.
İlk kısımda, Gosselin-Berard-Mohrbach yöntemini kullanarak elektromanyetik alanda
hareket eden kütleli parçacıklar için yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğunu
hesaplayacağım. Bu yöntem birkaç adımdan oluşmaktadır. Hesaplanacak olan Hamilton
yoğunluğunun h-bar ye göre birinci dereceden olan tüm terimleri içermesini istiyorum.
Elektromanyetik alan altındaki Hamilton yoğunluğunun bağlı olduğu değişkenleri, x ve
p yi, birbirleriyle komute edecek şekilde aldığınızda Hamilton yoğunluğu klasik bir
büyüklüktür olur. Klasik Hamiltonyeni köşegenleştirmek için uniter Foldy-Wouthuysen
dönüşümleri, UFW, kullanılır. Yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğunu
hesaplamak için, Hamilton yoğunluğunun klasik faz uzayı değişkenleri x ve p yerine
birbirleriyle komute etmeyen kuantum mekaniksel faz uzayı operatörleri olan (P; R) ye
bağlı olduğunu düşünelim. Bu durumda Foldy-Wouthuysen dönüşümleri uniter olmaktan
çıkarlar ve uniterliği sağlamak için birinci mertebe h-bar içeren bir terim eklemek gerekir. Bu
durumu şöyle ifade edebiliriz:
UFW --> UFW +X UFW:
Buradaki X Berry ayar alanlarına bağlıdır. Sonraki aşamada ise yeni dönüşüm
kullanılarak birinci derece h-bar mertebesinde olan tüm terimleri içeren yarı klasik blok
köşegen Hamilton yoğunluğu tam olarak hesaplanmış olur. Fakat blok köşengenleştirme
işlemi sırasında Hamilton yoğunluğunun bağlı olduğu faz uzayı değişkenlerinin cebri
non-komutatif olur. Hesaplanmış olan Hamilton yoğunluğu tezimin bir sonraki
kısımlarındaki hareket denklemlerinin çözümünde ve spinin zaman içindeki değişiminin
hesabında kullanılacaktır.
Tezin ikinci kısmında, yarıklasik yöntemde tek parçacık durumunu ifade edebilmek
için Dirac denkleminin pozitif enerji çözümlerinden oluşan bir dalga paketi kuracağım.
Kurulan dalga paketi ile yarıklasik birinci derece Lagrange yoğunluğuna karşılık gelen h
bir-form elde edilir.
Sonraki bölümde ise bir-form h aracılıg˘ıyla simplektik iki-form w˜ olus¸turulur. Bu spin
indisleri ile yazılan bir matristir. Berry ayar alanı içeren w˜ Hamilton formalizmini elde
etmek için kulanılır.
Simplektik iki-form üzerinde diferansiyel yöntem olan matris değerli vektör alanının iç
çarpım işlemi yapılarak hareket denklemleri elde edilmiş olur. Dirac parçacıklarının
hızları için hareket denklemi çözümlerine ise yine bir diferansiyel form yöntemi olan
Lie türevi işlemiyle ulaşılır. Bu bölümde, hareket denklemi çözümlerini iki ayrı
işlemin sonuçlarını karşılaştırarak hesapladım. Bunların ilki, 3+1 uzayzaman boyutu
için tanımlanan hacim formun Pfaffian matrise bağlı olarak yazılmasıdır. Pfaffian
matris bir kare matris için determinantının karekökü olarak tanımlanır. Diğer yol
xviii
ise, yine 3+1 uzayzaman boyutu için, hacim formu simpletik iki-forma bağlı olarak
tanımlamaktır. Hareket denklemi çözümlerine, iki farklı terimle belirlenmiş hacim
formun Lie türevlerinin hesaplanması ve elde edilen denklemlerin karşılaştırılmasıyla
ulaşılır.
Kütleli, spin-1/2 parçacıklar ile çalışmama rağmen kullandığım yarıklasik yöntemde
spine karşılık gelen klasik serbestlik derecesi yoktur. Sistemdeki hız ifadeleri matris
değerli olduklarından bulduğum parçacık akım yoğunluğu da matris değerlidir. Buradaki
önemli nokta, serbest Dirac parçacığı için spin korunumlu bir büyüklük olmamasına
rağmen helisite operatörü korunumlu bir büyüklüktür. Bu nedenle helisite operatörünü
kullanarak bir spin akısı türetilebilir. Dağılım fonksiyonu ve süreklilik denklemi
başlığındaki kısımda, parçacıkları sağ elli ve sol elli olmak üzere iki kısma ayırarak
dağılım fonksiyonunu elde etmek istiyorum. Bu nedenle dağılım fonksiyonunu köşegen
olarak yazmak için sistemimdeki bazı değiştirerek helisite bazına geçeceğim.
Daha sonra ise helisitenin köşegen olduğu bazda kurduğum dağılım fonksiyonunu ters
dönüşüm ile ilk bazda ifade edeceğim. Kütleli fermiyonlar için sağ elli ve sol elli
parçacıklar dengede olduğundan dağılım fonksiyonunun ilk bazda da köşegen olarak ifade
edilebileceğini göstereceğim. Bu bölümde son olarak ise süreklilik denklemini türeterek
kütleli fermiyonların süreklilik denklemini sağladığını göstereceğim.
Önceki bölümlerde Dirac parçacıklarının hızları için hareket denklemlerinin çözümlerini,
kütleli fermiyonların dağılım fonksiyonunu ve süreklilik denklemini elde ettim. Bu
işlemlerin ardından ise Dirac parçacıklarının hızları için bulunan hareket denklemlerindeki
tüm ifadeleri helisite bazında yazarak kütlesiz limitini hesaplayacağım. Böylece
kütlesiz fermiyonlar için hareket denklemlerinin çözümünü elde edeceğim. Ayrıca,
kütlesiz fermiyonların parçacık akısını ve süreklilik denklemlerini bulacağım. Dirac
parçacıklarının aksine, süreklilik denklemini sağlamadıklarını ve anomaliye sahip
olduklarını göstereceğim.
Dalga paketi yöntemiyle Dirac parçacıkları için elde edilen hareket denklemi
çözümlerindeki hız ifadeleri Berry eğriliği terimlerini içeren "anormal hız" terimlerine
sahiptir. Oysa, Dirac parçacıklarının kovaryant formalizmi ile elde edilen hareket
denklemlerinde Thomas presesyonu nedeniyle anormal hız terimleri yoktur. Thomas
presesyonu spin matrisinin relativistik olmayan hareket denklemlerinde bir kinematik
düzeltme terimi olarak bulunmuştur. Bununla birlikte Thomas presesyonu faz uzayı
değişkenlerinin hareket denklemlerine katkı sağlamalıdır. Diferansiyel form ve dalga
paketi formalizmi ile kurduğum relativistik olmayan sistemin, Thomas dönmesi katkısını
içermemesi beklenen bir durumdur. Bu durumu düzeltmek için yarıklasik formalizmine
Thomas dönmesi yerleştirilmelidir.
Thomas presesyonu bir Lorentz ötelemesinin ard arda uygulanan iki Lorentz ötelemesi
ve dönme ifadesi cinsinden yazılmasından kaynaklanır. Buradaki dönme ifadesine
aynı zamanda Thomas dönmesi de denilmektedir. Bu sayede Dirac denklemini
kullanmadan elektronun spinin zamana göre değişiminin ifadesi doğru bir şekilde
hesaplanabilmektedir.
Kullandığım yarı klasik yöntemin Thomas presesyonun katkısını hesaplamak için çok
uygun olduğunu göreceğim. Thomas dönmesini ve sistemime nasıl bir katkı verdiğini
bularak, momentumun yüksek mertebe katkısını ihmal ettiğimde anormal hız terimlerinin
kaybolduğunu göstereceğim. Bu sonuç ilk defa bu tezde bulunmuştur.
Thomas presesyonu katkısının incelenmesinin ardından spin matrislerinin zaman içindeki
değişimi hesaplanacaktır. Kullandığım yöntemde spin matrisleri Pauli spin matrisleri ile ifade edilmektedirler ve faz uzayı yöntemi spinin hareketlerini belirlemez. Bu
nedenle spin hareket denklemleri başka yöntemlerle bulunmalıdır. Bunun için
blok köşegen Hamilton yoğunluğunu bulmakta kullandığım Gosselin-Berard-Mohrbach
yöntemini kullanacağım. O formalizmde uniter dönüşüm sonrası faz uzayı işlemcileri
non-komütatif olurlar. Dolayısıyla Pauli matrisleri ile de komüte etmezler. Bu katkılar
göz önüne alındığında Gosselin-Berard-Mohrbach yöntemiyle elde ettiğim sonucun,
elektromanyetik alanda hareket eden elektronun spininin zaman içindeki değişimini veren
Bargmann-Michel-Teledgi denklemiyle aynı sonucu verdiğini göstereceğim.
Tezin son bölümünde ise elde ettiğim sonuçlar ve bazı uygulamaları tartışılmıştır.
|
The semiclassical kinetic theory of massive spin-1/2 particles interacting with the external
electromagnetic fields is formulated in terms of differential forms which are matrix valued
in spin space. Semiclassical approximation is performed by employing the wave packet
constructed as superposition of positive energy plane wave solutions of the free Dirac
equation. A symplectic two-form is derived using the wave packet. It is a matrix
in "spin indices" and possesses a term related to the Berry curvature obtained from a
non-Abelian Berry gauge field. Time evolution of phase space variables in terms of
phase space themselves are attained by making use of the volume form which is also
a matrix. Continuity equation for particle number density and the particle current density
are obtained by introducing a change of basis in order to define distribution functions
in the helicity basis. The massless limit is derived by constructing the helicity states
explicitly.
When one deals with a non-relativistic formulation of massive particles the equations
of motion should be corrected with a relativistic kinematic factor known as Thomas
precession. Its origin lies in the fact that when one would like to write two successive
Lorentz boost as one Lorentz boost it should be accompanied with a rotation whose angle
depends on the related velocities. It is shown that Thomas precession can be included
straightforwardly into the semiclassical formulation adopted in the thesis. It alters the
equations of motion and cancels the anomalous velocity terms appearing due to the Berry
curvature.
Initially, I will derive the semiclassical block diagonal Hamiltonian for a Dirac particle
in the electromagnetic field including all terms at the first order in Planck constant using
the Gosselin-Berard-Mohrbach method. In this method the unitary transformation which
block diagonalizes the Hamiltonian possesses terms related to the Berry gauge fields.
In general curvature of the Berry gauge fields appear as the phase factor of a quantum
state transported adiabatically. When the block diagonalization is carried out by unitary
transformation, the dynamical operators should also be transformed and they become
non-commutative. I will use these non-commutative phase space operators to derive the
time evolution of spin matrices which will be introduced in the course of finding the
semiclassical formulation.
The one-form corresponding to first order Lagrangian is defined by making use of the
wave packet built with the positive energy solutions of the Dirac equation. This one-form
can be written as a matrix whose indices correspond to the positive energy solutions which
are called spin indices. It has a term depending on the non-Abelian Berry gauge fields
given by the degenerate positive energy solutions. Then the symplectic two-form derived
from this one-form includes a term which depends on the Berry curvature. I use the
differential form formalism to obtain the equations of motion of phase space variables.
A straightforward method is applied to find solutions of the equations of motion for the phase space velocities in terms of the phase space variables employing Liouville equation
and the differential form formalism.
To get the kinetic theory of Dirac particles I need the distribution function which can
be used to define the particle number density. However, it is a matrix whose elements
should be interpreted appropriately. The mostly adopted procedure is to choose a specific
configuration where the third component of spin is a conserved quantity. Then one
can set the off-diagonal terms to zero. In general spin is not a conserved quantity
but helicity operator gives a vanishing commutator with the free Dirac Hamiltonian.
Moreover when I discuss the massless limit it would be essential to split the right-handed
and the left-handed contributions. Therefore, the appropriate basis is the one where the
helicity operator is diagonal. I define this new basis and obtain the continuity equation
for the Dirac particle using the distribution function which is diagonal. Then I derive
the continuity equation for the particle number density and the particle number current
density. Obviously, because of possessing the solutions of the equations of motion for the
velocities in terms of phase space variables one can directly obtain the particle current.
Obtaining themassless limit in the helicity basis is straightforward. It yields the continuity
equation which has an anomaly term. The particle current possesses an anomalous
velocity term and a term leading to the chiral magnetic effect.
Thomas precession which shows up as the relativistic correction in the equations of
motion are obtained. I briefly discuss what is the source of the Thomas precession. Then I
present how one should introduce this correction into the wave packet formalism. It gives
a contribution to the initial one-form on the same footing with the Berry gauge field. In
fact up to higher order terms in momentum it gives the opposite contribution of the Berry
gauge field and cancels the anomalous velocity terms given by the Berry curvature. This
result coincides with the ones obtained within the relativistic formulations of the Dirac
particles.
Originally the Thomas precession is used to obtain the corrections to the non-relativistic
formulation of the time evolution of spin matrices. However, the formalism which I
adopted is not aware of the time evolution of spin. For completeness I show that it can
be integrated into the formalism by making use of the non-commutative charter of the
dynamical variables obtained in the Gosselin-Berard-Mohrbach method. Time evolution
of spin matrices are shown to be the same with the Bargmann-Michel-Telegdi equation.
Lastly, the results obtained in the thesis and the possible extensions are discussed. |