|
Geoteknik mühendisliğindeki problemlerin çözümündeki en temel amaçlardan biri,
tüm inşaat mühendisliği yapılarının zemin üzerinde ya da içinde bulunması sebebiyle,
çeşitli dış yüklemeler ve iç tepkiler altında doğal zeminin davranışını belirlemektir.
Suya doygun ve gözenekli bir zemin ortamının durağan halinde dış yükler altında
vereceği reaksiyon ve yapısında oluşabilecek mekanik değişimler, "birleşik akış ve
deformasyon teorisi" kapsamında çalışılır. Teoride, zeminin katı iskeletinin davranışı
ve daneler arasındaki zemin suyunun davranışının birbirleri üzerindeki bağıl etkileri
ve birbirleri ile hareketi birleşik bir yapıda incelenebilmektedir. Bu birleşik hesap
yöntemi ilk olarak bir boyutlu konsolidasyon teorisinde karşımıza çıkar.
Konsolidasyon teorisinin, çok boyutlu ve sıkışabilir boşluk suyu kabulü ile
genelleştirilmesi, "birleşik akış ve deformasyon" davranışının tanımlanmasına yol
açar. Bu sayede karmaşık zemin modellerinde kullanılan ve zemin iskeletinin hareketi
ile boşluk suyu basıncı etkisi birçok problem için çözülebilir hale gelir. Bu teorinin
ardındaki matematiksel formülasyon, gözenekli ortamın birleşik dinamik davranışını
temsil eden poroelastisite denklemleri aracılığıyla yazılır. Her ne kadar esas teori, hem
katı hem de boşluk akışkanlarının (gözeneklerin birden fazla çeşit sıvı ile dolması
durumu) hareketi ile ilişkili olsa da ve tüm eylemsizlik kuvvetlerini içeren bir "tam
dinamik (FD) formülasyonu" halinde yazılsa da, daha pratik bir çözüm geliştirmek
için bazı basitleştirilmiş varsayımlar yapılması tercih edilir. Gözenekli ortamın sadece
tek bir sıvı ile dolu olması durumunda iki fazlı olarak ele alınması (örn. katı daneler
ve boşluk suyu) ile elde edilen bu basitleştirilmiş denklemler; i) Sıvı fazın ataletinden
kaynaklı etkiler ihmal edildiğinde ortaya çıkan kısmi dinamik (PD), ii) Hem katı hem
sıvı fazların atalet terimlerinin ihmal edilmesi durumunda yazılan yarı statik (QS)
formülasyon şeklindedir. Sistemin dinamik tepkisi, fiziksel yapısı ve yükleme durumu
göz önüne alınarak bu denklemlerin uygun formu ile analiz edilmelidir.
Geoteknik mühendisliği problemlerinde, zeminin gerçek davranışının anlaşılması için
başlangıçta, zeminin gözeneksiz ve tek fazlı bir katı cisim olarak ele alınması
düşünülebilir. Böyle bir durumda zeminde boşluk suyu basıncının harici olarak
sisteme etki ettirilip, akışın göz ardı edilmesi tercih edilebilir pratik bir yöntemdir. Bu
yöntem, zemin modellemesi açısından en kolay yol olduğu için, özellikle tek boyutlu
zemin ortamlarının dinamik çözümlerinde, bir ilk yaklaşım olarak kullanılabilir.
Böylesi basitleştirilmiş bir yaklaşımın yanı sıra, zemin problemleri için analitik
çözümlerin geliştirilmesi her zaman için tercih edilmektedir. Bir problem için analitik
çözümün olması, problemde istenilen bilinmeyenlere neredeyse kesin cevap verecek
sonuçlar elde etmemizi sağlar. Ancak ne yazık ki böylesi matematiksel çözümlerin
doğrusal olmayan, heterojen ve anizotropik davranış özelliği gösteren kompleks
zeminler için elde edilebilmesi pek mümkün değildir. Bu sebeple nümerik çalışmalar
vasıtasıyla bahsedilen gerçek zemin davranışına ulaşmada yaklaşımlar yapılması,
geoteknik mühendisliği problemlerinin çözümünde oldukça önemli bir yer tutar. Bu
tez çalışmasında, Sonlu Elemanlar Yöntemi kullanılarak yüzey yüklemeleri altındaki
bir boyutlu bir zemin kolonunun dinamik davranışına uygun sayısal çözümler
geliştirilmiştir.
Tezin ilk kısmında, zemin gözenekli bir ortam olarak ele alınmış, doğrusal dinamik
davranışı incelenmiştir. Suya doygun bir boyutlu bir zemin kolonunun, harmonik yüzey yüklemesi altındaki kısmi dinamik ve yarı statik davranışı, sayısal olarak analiz
edilmiş, düşey deplasmanlar ve normalize edilmiş boşluk suyu basıncının zaman ve
derinlik ile değişimleri elde edilmiştir. Bahsedilen problemler için daha önceden
referanslarda belirtildiği üzere geliştirilmiş olan analitik çözümlerin varlığı, bu sayede
hesaplanan kesin sonuçların, yapılan sayısal modelleme çalışmasının doğruluğunu
teyid etmek adına kullanılması açısından önem teşkil etmektedir. Bu sayede sayısal
olarak elde edilen deplasman ve boşluk suyu basınçlarının analitik sonuçlarla uyumu,
geliştirilen sayısal modellerin ve onların bilgisayara aktarımının doğruluğunu
kanıtlamıştır. Böylece, ilerleyen dönemde yapılan sayısal modelleme çalışmalarının
da temelini atmıştır.Buraya kadar bahsedilen bu çalışmalar bir boyutlu suya doygun
poroz elemanın doğrusal elastik davranışı için modellenmiş ve analiz edilmiştir. Lakin
zeminin doğadaki gerçek davranışı, gerek malzeme açısından gerek fiziksel açıdan,
doğrusallıktan uzaktır. Bu durumda sistemde kalıcı deformasyonlar oluşmaktadır.
Malzeme açısından doğrusal olmayan davranış; malzemenin gerilme-şekil değiştirme
ilişkisi tarafından belirlenir ve çeşitli teorik zemin modelleri ile sayısal analizlere
yansıtılır. Bu modellerin temelini klasik plastisite teorisi oluşturmaktadır ve akla gelen
ilk model de elastik-mükemmel plastik modeldir.Bu tez çalışmasının ikinci
aşamasında malzeme açısından plastik davranış ve bu davranışı sağlayan gerilme şekil
değiştirme ilişkisi kavramları incelenmiştir. Zemin modellemesi olarak, plastisite
teorisinin temelini oluşturan ve doğrusal olmayan davranış analizinde başlangıç
çalışmaları için kullanılması uygun kabul edilen elastik-mükemmel plastik ve elastikdoğrusal
pekleşen plastik modelleri ele alınmıştır. Malzemenin gerilme-şekil
değiştirme davranışının elde edilmesi için bir bilgisayar programı geliştirilmiş,
çevrimsel yük altında gerilme kontrollü ve çevrimsel bir deplasman altında da şekil
değiştirme kontrollü olarak analizler gerçekleştirilmiştir. Elastik ve elasto-plastik
malzeme davranışları da elde edilen grafikler üzerinden değerlendirilmiştir.
Analizlerin doğruluğunu sağlamak adına, her hesap adımı kendi içerisinde çok daha
küçük adımlara bölünerek ilerlenmiş, bu sayede malzemenin elastikten elasto-plastik
davranışa geçiş aşamaları, hata payını minimuma çekecek şekilde hesaplanmıştır.
Çalışma daha sonra malzeme açısından elasto-plastik davranışın bir boyutta tek
serbestlik dereceli sistemlere uygulanışı üzerine devam etmiştir. Hareket denkleminin
belirtilen sistemler için çözümü, uzay ve zaman tanım alanında elasto-plastik davranışı
içerecek şekilde gerçekleştirilmiştir. Zincir şekilde birbirini etkileyen doğrusal
olmayan hesap adımları, belirli bir güncelleme ve iterasyon algoritması üzerinden
sürdürülmektedir. Seçilen zemin modelinin yönettiği bu süreçte, yinelemeli
hesaplamalar sonucu %0.5'in altında bir hata payı için analiz sürdürülmüş, bu hata
oranının altında kalınan her değer, gerçeğe yakınsak kabul edilerek bir sonraki yük
adımına geçilmesi uygun görülmüştür. Analizin tamamı yüzeysel bir yükleme süreci
altında, tek serbestlik dereceli sistemlerin zaman ve uzay boyutundaki elasto-plastik
dinamik davranışını kapsamaktadır. Hesaplanan deplasmanların zamana bağlı
değişimi, ilgili problemlerin referans alınan kaynaklardaki çözümleriyle
karşılaştırılarak tezin ilgili bölümü tamamlanmıştır. Bu sayede oluşturulan sayısal
analiz yönteminin tek serbestlik dereceli bir sistemin elasto-plastik malzeme davranışı
için dinamik olarak doğru analiz sonuçları verdiği kanıtlanmıştır. Devamında, tek
serbestlik dereceli sistemler için oluşturulmuş sayısal analiz programı, sonlu elemanlar
yöntemi ile geliştirilerek, çok serbestlik dereceli sistemlere kanalize edilmiştir. Burada
bir zemin kolonu dikkate alınmıştır. Sayısal çalışma ile çok serbestlik dereceli katı bir
zemin kolonunun elasto-plastik dinamik davranışı modellenmiştir. Analizlerin doğru
ilerleyebilmesi adına bu bölümde elasto-plastik davranış için bölgesel bir yinelemeli
algoritma kullanılmış, bu adımlarda da hata oranının %0.5'in altında kaldığı durumlar yeterli yakınsak kabul edilip, bir sonraki alt-adımlamaya geçiş sağlanmıştır.
Sonuçların teyidi, sonlu elemanlar modelinde tek eleman seçimi sonucu meydana
gelen deplasmanların, bir önceki bölümde tek serbestlik dereceli sistemler için elde
edilen deplasman değerleri ile kabul edilebilir ölçüde uyuşması ile sağlanmıştır.
Doğruluğu teyid edilen bu sonlu elemanlar analizi, katı bir zemin kolonu için
genelleştirilmiş, tüm kolona ait düşey deplasmanların zamanla ve derinlikle
değişimleri sunulmuştur.Bu tezin amacı; suya doygun bir boyutlu bir zemin
kolonunun, çoğu tekrarlı yüzeysel yüklemeler altında doğrusal olmayan dinamik
davranışının sayısal yöntemlerle analiz edilmesidir. Bu amaca yönelik olarak her türlü
yükleme altında poroz zemin kolonunun lineer olmayan davranışını çözümleyen bir
program yazılmış, harmonik yükleme tipi ele alınmıştır. Detaylı bir şekilde sürdürülen
çalışmalar birleştirilerek meydana getirilen bir boyutlu sayısal zemin modelinin
analizleri yapılmış, sonuçlar zemindeki deplasmanlar, boşluk suyu basıncı ve efektif
gerilmenin derinlikle ve zamandaki değişimleri cinsinden çıkarılmıştır. Suya doygun
ve poroz bir zemin kolonunun gerilme-şekil değiştirme davranışı elastik-doğrusal ve
birleşmiş pekleşen plastik modeli ile tanımlanmış, bu model birleşik akış ve
deformasyon teorisi üzerine kurulmuş sonlu elemanlar programına aktarılarak zemin
kolonunun sayısal analizleri zaman ve mekan tanım alanında elde edilmiştir. Sonuçlar
elastik-doğrusal pekleşen böyle bir modelin zeminin tekrarlı yük altındaki doğrusal
olmayan dinamik davranışını gerçekte gözlenen doğrulukta modelleyemediği
yönündedir. Bu açıdan ileride, suya doygun bir boyutlu bir poroz zeminin doğrusal
olmayan dinamik davranışını hesaplamak üzere gerçekte deneylerle gözlenen zemin
davranışını modelleyecek bir bünye modelinin aktarımıyla sonlu elemanlar modelinin
geliştirilmesi hedeflenmektedir.
|
|
One of the main objectives of solving problems in geotechnical engineering is to
evaluate the natural soil response under various external loads due to the fact that all
civil engineering structures are located on or inside a soil medium. Under steady state
or transient conditions, mechanical changes in a saturated soil system as a result of the
changes in drainage conditions or the internal structure, are studied by using the
"theory of coupled flow and deformation" which essentially considers the deformation
of solid skeleton and flow of pore fluid simultaneously. The mathematical formulation
behind this theory satisfies the coupled dynamic behavior of porous soils employing
the poro-elasticity equations. Although, the actual theory proposes what is called a
"fully dynamic (FD) formulation" including all the inertial forces associated with the
motion of both solid and fluid parts (i.e. if there is more than one fluid filling in the
pores of the porous medium), it is typically preferred to make some simplifiying
assumptions in the theory to develop a more practical solution albeit not giving up
from the accuracy. Taking the porous soil as a two-phase medium with only a single
pore fluid (i.e. as water in the case of soils), these simplified equations are obtained as;
i) Partially dynamic (PD) where the inertial terms associated with the pore fluid are
neglected, and ii) Quasi-static (QS) where the inertial terms of both solid and the fluid
phases are neglected. The dynamic response of the system is then analyzed by the
appropriate form of these equations considering the physical structure and loading
situation given in the problem. While employing the complex poroelasticity equations
helps better understand the problem of evaluating the actual response of soils in
geotechnical engineering, it is of more practical value to initiate related studies by
taking the soil medium as a single-phase solid material neglecting the porous-structure
in the beginning. In this way, pore water pressure is included externally in the system
as an 'ad-hoc' way and flow is not taken into account. That said, as it is the easiest
way to model the soil behavior, it could be, therefore, pretty much the first approach
to obtaining the solution of the dynamic problem, particularly in a one-dimensional (1-
D) situation. Along with such a 'simplified' approach, one always chooses to develop
analytical solutions to the problem because having a direct solution of a problem
allows us to obtain exact results. However, most of the time it is not possible to obtain
exact mathematical solutions for complex real-world soil-mechanics problems since
soils are nonlinear, heterogeneous and anisotropic materials. Therefore, it is of utmost
importance to utilize numerical methods to approximate the actual soil behavior and
develop accurate solutions. In this thesis, 1-D numerical solutions to the dynamic
response of a soil column under surface excitations are developed using the Finite
Element Method (FEM). In the first part of the thesis, the soil is considered as a porous
medium, and its linear dynamic behavior is examined through 1-D FE analyses using
linear bar-elements. The validity of this numerical study is confirmed by the available
analytical solutions. Due to the fact that the actual behavior of the soil is inelastic, our
attention is turned to the actual nonlinear behavior. Here, since there can be irreversible
deformations taking place in the soil under cyclic loading, the "theory of plasticity" is
employed to handle the related calculations. To start off, nonlinear elasto-plastic
behavior of a solid material is evaluated by the stress-strain relationship which is then
implemented in a MATLAB program in terms of a number of basic constitutive models. These are: the elastic-perfectly plastic model, elastic-linear isotropic
hardening plastic model and the elastic-linear combined isotropic and kinematic
hardening plastic model, which are considered to be the basis of the nonlinear part of
this study. Then a number of single-degree-of-freedom systems (SDOF) are analyzed
using such elasto-plastic behavior of the material. The nonlinear finite element
analyses in this section involve solution of the stiffness relation using the 'Newton-
Raphson Method' and updating its components iteratively at each time-step and
calculating and updating the internal force obtained from the elasto-plastic stress-strain
relationship as a result of updated degree of freedoms. Then this numerical analysis
program, as developed for a SDOF system, is expanded by implementing the equation
of motion written in terms of the governing equations of a solid soil element and
subsequently of the equations of a porous soil element, into a large-purpose MATLAB
code. This is a nonlinear dynamic finite element program developed to analyse a multi
degree of freedom soil column under any loading. Our focus was on harmonic response
of soil whose stress-strain behavior is governed by elastic-combined hardening plastic
model. The FE solution of the nonlinear dynamic analysis of a porous soil column,
which is verified for a single element behavior, constitutes the ultimate extent of this
thesis study. Interesting results obtained from each chapter are presented at the end of
respective sections and summarized in the conclusions. As for future works, it is
planned to analyse the dynamic response of the soil with a more realistic nonlinear soil
model able to capture the actual cyclic-plastic soil behavior using the gained
knowledge on the nonlinear dynamic finite element analysis. |
