Tez No	İndirme	Tez Künye	Durumu
546457		Robust dominant pole placement with low order controllers / Düşük mertebeli kontrolörler ile dayanıklı baskın kutup atama Yazar:EMRE DİNCEL Danışman: PROF. DR. MEHMET TURAN SÖYLEMEZ Yer Bilgisi: İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı / Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bilim Dalı Konu:Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol = Computer Engineering and Computer Science and Control Dizin:	Onaylandı Doktora İngilizce 2019 207 s.
Bir kapalı çevrim kontrol sisteminde kararlılığın sağlanmasının ilk gerekli koşul olduğu açıktır. Eğer kapalı çevrim sistem kararlı değilse frekans ya da zaman tanım bölgesi kriterlerinin de bir önemi kalmayacaktır. Bu nedenle, literatürde kararlı kılan kontrolörlerin hesabına ilişkin hem sürekli zaman hem de ayrık zaman domeninde pek çok çalışma yapılmıştır. Kararlı kılan kontrolörlerin hesabı, kapalı çevrimde belirli performans ölçütlerini sağlayan kontrolör kümesinin aslında kararlı kılan parametre kümesinin içinde yer alması nedeniyle bir avantajdır. Diğer taraftan, kapalı çevrimin kararlı kılınması pek çok durumda tek başına yeterli değildir. Bu nedenle kapalı çevrimde istenilen performans ölçütlerini sağlayacak olan kontrolör kümesinin hesabı önemli bir yere sahiptir. Kontrol sistem tasarımında, kutup atama yöntemi sıklıkla kullanılan ve popüler olan tekniklerden birisidir. Bu nedenle baskın kutup atama yaklaşımını temel alan çeşitli kontrolör tasarım yöntemleri literatürde önerilmiştir. Amaçlanan aşım, yerleşme zamanı gibi zaman domeni karakteristiklerini sağlamak amacıyla baskın kutup çifti s-tanım bölgesinde ilgili yerlere atanır. Buradaki varsayım diğer tüm kutupların baskın kutuplardan m kat (m genellikle 3-5 arası seçilir) uzakta olduğudur. Baskın kutup atama yöntemi etkili bir yöntem olmasına karşın eğer bu varsayım geçerli olmaz ise (yani diğer kutuplar baskın kutup çiftinden yeterki kadar uzakta bulunmazsa) kapalı çevrimde amaçlanan performans ölçütlerinin garanti edilememesi gibi bir problem ortaya çıkacaktır. Bu tezde üzerinde çalışılan ilk ana problem düşük mertebeden (PI, PID, PI-PD gibi) kontrolörlerin sürekli zaman domeninde baskın kutup atama yaklaşımı ile tasarımıdır. Bahsi geçen problem literatürde hali hazırda çözülmüş ve tezin ikinci bölümünde sunulmuştur. Var olan yöntemlerin sunumunun dışında, zaman gecikmesi olmayan sistemler için Routh-Hurwitz tabanlı daha kolay bir yaklaşım da önerilmiştir. Zaman gecikmesine sahip sistemler için ise sürekli zamanda baskın kutup atama problemi oldukça zor olacağından, bu tarz sistemler için ayrık zaman yaklaşımının kullanılması daha uygundur. Düşük mertebeden kontrolörler olarak tez süresince P, PI, PID ve PI-PD tipi kontrolörler ele alınmıştır. Ancak, P tipi kontrolörler genellikle kapalı çevrimde sürekli hal hatasına neden olduklarından pek tercih edilmemektedir. Diğer yandan, PI kontrolör kullanımı durumunda ise kapalı çevrimde baskın kutup çiftini atamak mümkün iken, geriye kalan kutupları konumlandıracak bir serbest parametre kalmamaktadır. Bu da baskın olmayan kutupların baskın bölgede konumlanmasına ve baskın kutup atama yönteminin başarısız olmasına neden olabilir. Sonuç olarak bu tezde hem sürekli zamanda hem de ayrık zamanda çoğunlukla PID tipi kontrolörler ele alınmıştır. Tasarım sonucunda kontrolör sıfırları da eğer baskın bölge civarında konumlanmış ise problem olabilir. Klasik PID kontrolör yapısı kullanılması durumunda kontrolör sıfırlarının baskın bölge içerisinde ve hatta sağ yarı s-düzleminde (ya da z-düzleminde birim çemberin dışında) konumlanma şansı her zaman bulunmaktadır. Bunun nedeni de baskın kutup atama yaklaşımının yalnızca kapalı çevrim kutuplarını dikkate almasıdır. Ancak PI-PD yapısının, kontrolör sıfırının istenilen şekilde konumlanmasını sağladığından, önemli bir avantajı bulunmaktadır. Bu da kapalı çevrim geçici hal yanıtının arzulandığı şekilde elde edilmesine yardımcı olmaktadır. Sürekli zaman domeninde, özellikle yüksek mertebeden bir sistem ele alındığında baskın kutup atamanın sağlanması, geriye kalan kutupların belirlenen performans ölçütleri ve baskınlık faktörü (m) için her zaman yeteri kadar uzağa atılamaması nedeniyle zor olabilmektedir. Bu nedenle ele alınan sistem için elde edilebilecek olası maksimum baskınlık faktörünün bilinmesi önemlidir. Bu da PID kontrolörler ile maksimum baskınlık faktörünün hesabı problemini gündeme getirmektedir. Bu tezde maksimum baskınlık faktörü hesabı, sırasıyla açık çevrim transfer fonksiyonu yalnızca kutuplardan oluşan sistemler için ve açık çevrimde sıfırı da olan sistemler için iki farklı yaklaşım üzerinden yapılmıştır. Diğer yandan, amaçlanan sabit bir baskınlık faktörünü sağlayacak olan ve kapalı çevrim baskın kutuplarının atanacağı bölgenin bulunması da mümkündür. Bunun anlamı, baskın kutup atama yaklaşımının düzgün çalışması için kapalı çevrimde baskın kutup çiftinin seçimindeki kısıtlamaların bulunmasıdır. Böylece, s-tanım bölgesinde baskınlığı garantileyecek olan baskın kutup bölgesinin sürekli PI ve PID kontrolörler için elde edilmesi amacıyla bir yöntem önerilmiştir. Baskın kutup atama yaklaşımında, geriye kalan kutupların baskın kutup çiftinden uzakta konumlanması eldeki kısıtlı parametre sayısı ile oldukça zor olabilmektedir. Buna rağmen kapalı çevrim performans ölçütlerini kesin sabit değerler seçmek yerine genişletmek yani belirli değerler arasına almak mümkündür. Bu da baskın kutupların bir noktada değil de belirli bir bölgenin içerisinde yer alması anlamına gelmektedir. Sonuç olarak bu kez de baskın kutup bölgesi atama problemi ortaya çıkmaktadır. Bu tezde baskın kutup bölgesi atama problemine çözüm genelleştirilmiş Nyquist teoremi ve parametre uzayı yaklaşımları üzerinden sürekli P, PI ve PID tipi kontrolörler için verilmiştir. Dünyadaki kontrol sistemlerin çoğunluğunda örnekleme zamanının önemli ek harcamalar yapılmadan belirli limitler altına çekilemeyeceği eski teknolojiler kullanmaktadır. Bununla birlikte bir takım yeni sistemlerde de örnekleme zamanının olabildiğince küçük yapılmak istenmesi beraberinde maliyeti de getirmektedir. Bu gibi durumlarda, dijital dünyada gerçeklenen kontrolörün performansını garanti altına almak için doğrudan ayrık kontrolör tasarımı gerekli olmaktadır. Kontrolör tasarımı sürekli zamanda yapılıp daha sonra olabildiğince küçük bir örnekleme zamanı seçilerek ayrıklaştırılabilse de, sürekli zaman domeninde tasarım her durumda kolay değildir. Özellikle zaman gecikmesine sahip sistemlerde kapalı çevrimdeki sonsuz sayıda kutup nedeniyle baskın kutup atama yaklaşımı ile tasarım oldukça zor olmaktadır. Baskın kutup çifti dışında kalan kutupların baskın bölgede konumlanma riski yüksek olduğundan, zaman gecikmeli sistemlerde tasarım dikkatli bir biçimde yürütülmelidir. Ancak, kontrolör tasarımında ayrık zaman domeninin avantajını kullanmak mümkündür. Böylece kapalı çevrimde ölü zamandan kaynaklı kutuplar, zaman gecikmesinin katı olacak şekilde bir örnekleme zamanı seçilmesi ile sınırlı sayıda olacaktır. Bu da doğrudan dijital kontrolör tasarımını baskın kutup atama problemi içerisinde önemli bir başlık haline getirmektedir. Sürekli zaman domeninde tanımlanan problemlerin aynısı bu tez kapsamında ayrık zaman domeninde de ele alınmış ve çözülmüştür. İlk olarak, baskın kutup çiftini atayacak olan ayrık PI ve PID kontrolörlerin parametrizasyonu yapılmış, sonrasında geriye kalan kutupların atanması amacıyla, modifiye edilmiş Nyquist yaklaşımı ve Chebyshev polinomları yaklaşımları önerilmiştir. Maksimum baskınlık faktörünün, diğer bir deyişle seçilen performans ölçütleri için z-düzleminde baskın olmayan kutupların konumlandırılabileceği olası en küçük yarıçaplı diskin bulunması için bilineer dönüşüm yardımıyla Routh-Hurwitz tabanlı bir yöntem sunulmuştur. Z-düzleminde baskın kutup çiftinin seçimindeki kısıtlamalar da benzer şekilde bulunmuştur. Ayrık P/PI/PID tipi kontrolörler ile baskın kutup bölgesi atama problemi de ele alınmıştır. Kullanılan yöntem sürekli zaman domenindeki yöntem ile benzerdir. Ancak burada, ayrık zaman domeninin avantajını kullanarak zaman gecikmeli sistemler için tasarımın yapılması daha kolay olmaktadır. İlk olarak genelleştirilmiş Nyquist teoremi yardımıyla P tipi kontrolörler için daha sonra parametre uzayı yaklaşımı ile PI ve PID tipi kontrolörler için önerilen yöntem açıklanmıştır. Kontrol sistemlerinde yapısal olmayan ve yapısal (parametrik) belirsizlik olmak üzere iki çeşit belirsizlikten söz etmek mümkündür. Eğer sistem parametrelerinin değerleri tam olarak bilinemiyor ancak değiştiği aralık biliniyor ise bu parametrik belirsizlik olarak tanımlanır. Parametrik belirsiz sistemlerin kararlılık analizi için literatürde Kharitonov teoremi, kenar teoremi, haritalama teoremi ve Tsypkin-Polyak eğrisi gibi yöntemler bulunmaktadır. Parametrik belirsizlik olması durumunda, kapalı çevrim kutuplarını belirli noktalara atamak mümkün olmamaktadır. Bunun yerine kapalı çevrim baskın kutuplarının disk, dikdörtgen vs. gibi bir bölgenin içerisinde tutulması, diğer kutuplarında olabildiğince uzakta konumlanması amaçlanmaktadır. Sırasıyla aralık ve kaymış doğrusal biçimde kapalı çevrim karakteristik polinomuna sahip sistemler için baskın kutup atamayı sağlayacak olan dayanıklı PID kontrolör tasarımı üzerinde çalışılmıştır. Ele alınan problemin yapısı gereği, farklı kararlılık bölgelerinin (D-kararlılık) ele alınması gerekmektedir. Bu nedenle, kapalı çevrim karakteristik polinomu aralık tipi bile olsa, Kharitonov teoremi amaçlanan kazanç aralıklarının hesabı için yeterli olmamaktadır. Ancak, kararlılık ya da D-kararlılığın test edilmesi kompleks hesaplamalar gerektiren kenar polinomlarının kullanımı yerine, eğer ele alınan D-kararlılık bölgesi belli bir özelliği (azalan faz özelliği) sağlıyor ise köşe polinomlarının kullanımının yeterli olacağı gösterilmiştir. Buna ek olarak, kontrol mühendisliğinde ele alınan önemli bölgelerin büyük çoğunluğunun da azalan faz özelliğini sağladığı belirtilmiştir. Son olarak, kaymış doğrusal tip kapalı çevrim karakteristik polinoma sahip olan sistemler için de değişmez kazanç aralıklarının hesabına dayanan yeni bir yöntem önerilmiştir. Önerilen bu yöntem kenar teoreminin kullanımından çok daha kolaydır. Böylelikle olası tüm belirsizlikler altında dahi baskın kutupların s-düzleminde amaçlanan bölgede tutulurken, diğer kalan kutupların da baskın kutup bölgesinde uzakta konumlanması mümkün hale gelmektedir. Özetle, bu tezde düşük mertebeden kontrolörler kullanılarak baskın kutup atama ile ilgili temel problemler ele alınmış ve hem sürekli zaman hem de ayrık zaman domenlerinde çözümler verilmiştir. Elde edilen sonuçlar daha sonrasında parametrik belirsiz sistemler için dayanıklı baskın kutup atama yaklaşımı ile dayanıklı düşük mertebeden kontrolör tasarımı için kullanılmıştır.
It is clear that the first necessary condition is to provide the stability of a closed-loop control system. If the closed-loop system is not stable, the frequency or time domain specifications do not have any meaning. Therefore, there are many studies in the literature on the calculation of stabilizing controllers both in continuous and discrete time domain. Computation of all stabilizing controller parameters is an advantage due to the fact that the controller parameters, which satisfy some closed-loop performance criteria, are actually a subset of the stabilizing parameter set. On the other hand, the stabilization of closed-loop system alone is not enough in many cases. For this reason, the calculation of the controller parameters such that the closed-loop system satisfies desired performance specifications has an important place. In the control system design, the pole placement approach is a widely used and popular technique to obtain the desired closed-loop performance. Therefore, there are several controller design studies based on the dominant pole placement approach in the literature. In order to provide the desired time domain characteristics such as settling time and overshoot, a pair of dominant poles is assigned to the corresponding locations. The adopted assumption here is that the remaining poles are located m times away (m is chosen as 3-5 in general) from this dominant pole pair. Even though the dominant pole placement is an effective design method, if this assumption is violated (i.e. the remaining poles are not located far enough from the dominant poles), it leads to another problem that is the desired performance specifications in the closed-loop are not guaranteed to be met. The first main problem studied in this thesis is the design of low order controllers (such as PI, PID, PI-PD) in continuous-time domain via dominant pole placement approach to satisfy desired performance criteria in the closed-loop. The mentioned problem is already solved in the literature and presented in the second chapter. Apart from the presentation of existing results, for the systems without time-delay, an easier approach which is based on well-known Routh-Hurwitz method, is also proposed. For the time-delay systems, dominant pole placement problem is very challenging; therefore, it is better to use the discrete-time domain representation for such systems. During the thesis, P, PI, PID and PI-PD type controllers are considered as low order controllers. However, P controllers are not usually preferred due to steady-state error in the closed-loop. On the other hand, in case of PI controller usage, it is possible to assign the dominant pole pair to the desired locations; however, there is not any parameter left to assign the remaining poles. It may cause the dominant pole placement approach to fail since the non-dominant poles can be located in the dominant region. As a result, PID controllers are the mostly considered in the thesis both in continuous-time domain and discrete-time domain. The controller zeros may also be problem if their location is close to the dominant pole pair. If the conventional PID controller structure is used, there is always a chance that the controller zeros are located in the dominant region or even in the right half plane (or outside of the unit circle in z-domain) due to the fact that the dominant pole placement method considers only poles of the closed-loop system. However, the PI-PD structure has a significant advantage that the controller zero can be placed arbitrarily; thus, it helps the transient response of the closed-loop system to be obtained as desired. In continuous time domain, especially when a higher order system is considered, it becomes a difficult task to provide dominant pole placement due to the fact that the remaining poles cannot be always placed far away for chosen performance criteria and dominance factor (m). Therefore, it is important to know the maximum achievable dominance factor for a considered system, hence, another problem which is defined as the calculation of maximum dominance factor with a PID controller shows up. In the thesis two different approach is proposed to calculate the maximum value of the dominance factor for all-pole systems and for the systems with open-loop zeros, respectively. On the other hand, the dominant pole region in which the dominant poles can be assigned to satisfy a desired dominance factor can be obtained. It means that the limitations on dominant pole pair selection such that the dominant pole placement approach works well can be found. Therefore, a method is proposed to find the dominant poles region in s-plane to guarantee dominant pole placement with continuous PI and PID controllers. In the dominant pole placement approach, it may be a challenge to keep the remaining poles away from the dominant pole pair with limited parameters. Nevertheless it is possible to widen the closed-loop performance criteria instead of choosing strict specifications. This results the dominant pole pair to be located in a specified region instead of a point, hence, the dominant pole region assignment problem shows up. In this thesis, solution to the dominant pole region assignment problem is given with the help of parameter space approach and generalized Nyquist theorem for continuous P, PI and PID controllers. It should be noted that most of the installed control systems around the world use older technology where it is not possible to reduce the sampling time below a certain limit without making considerable expenses. In addition to this, in some of the new systems reducing the sampling time comes with a cost, which might not be required due to marketing reasons. In such situations, direct digital design is required to ensure the performance of the controller when applied in the digital world. Even if the controller design can be performed in continuous-time domain and then discretized by taking sampling time as small as desired, the design in continuous-time domain is not always straightforward. Especially for the time-delay systems, the design via dominant pole placement is a challenge due to the fact that there are infinitely many poles in the closed-loop system. Since the remaining poles can be located in the dominant pole region, the design process should be carried out carefully if the considered system has time-delay. Nevertheless, it is possible to take advantage of the control system design in discrete-time domain so that the number of closed-loop system poles caused by the time-delay becomes finite when the time delay is a multiple of the sampling time. It leads the direct digital controller design to be an important aspect in dominant pole placement method. The same problems defined in the continuous-time domain are also considered in discrete-time domain and solved in the thesis. First of all, the parametrization of the discrete PI and PID controllers which assign dominant pole pair is completed and after that in order to assign the remaining poles, two different approaches based on modified Nyquist theorem and Chebyshev polynomials are proposed. The maximum dominance factor, in other words, the disc of minimum possible radius in which the non-dominant poles can be placed in z-plane for a chosen performance criteria is calculated via Routh-Hurwitz based method with bilinear transformation. Limitation on dominant pole pair selection in z-plane is also found. It is also aimed to perform the dominant pole region assignment with discrete P/PI/PID controllers. The methodology is very similar to the pole region assignment in continuous-time domain. However, here, it is much easier to design such controllers for time-delay systems by taking advantage of discrete-time domain. First of all, the proposed method is explained through P controller again with the help of generalized Nyquist theorem, then it is extended to design of digital PI and PID controllers via parameter space approach. In the control systems, two types of uncertainties can be defined called as unstructured and structured (or parametric) uncertainties. If the system parameters are not known exactly but their intervals are known then it is defined as a parametric uncertainty. In order to analyse the stability of systems with parametric uncertainties, several methods have already been proposed such as the Kharitonov Theorem, the Edge Theorem, the Mapping Theorem and the Tsypkin-Polyak loci. In case of a parametric uncertainty, it is not possible to place closed-loop system poles to the exact locations, but instead it is expected two of the closed-loop poles to be in desired region such as a disc, a rectangle etc. and other poles to be far away from the dominant pole region. A robust PID controller design to provide dominant pole placement in the closed-loop for parametric uncertain systems is studied for the systems with interval type and affine-linear type closed-loop characteristic polynomials, respectively. Due to the natural structure of the considered problem, different stability regions (D-stability) are required to be considered; therefore, even if the characteristic polynomial is an interval polynomial, the Kharitonov theorem can not be sufficient to calculate the desired gain intervals. Instead of using edge polynomials whose stability or D-stability check requires complex calculations, it is shown that the vertex polynomials are sufficient to be checked if the considered D-stability region satisfies a property (decreasing phase property). It is also shown that for most of the important regions in control engineering, the decreasing phase property is satisfied. Finally, for the affine-linear type characteristic polynomials, a new method is proposed which is based on finding the invariant gain intervals which is a lot easier than using Edge theorem. Thus, it becomes possible to assign the dominant poles to the desired region in s-plane whereas the remaining poles are also located away from the dominant pole region under all possible perturbations. As a conclusion, the main problems related with the dominant pole placement is solved for low order controllers and both in continuous-time and discrete-time domains. Derived results are then used to design a robust low order controller via robust dominant pole placement for the systems with parametric uncertainties.