Tez No	İndirme	Tez Künye	Durumu
541339		On the Ricci solitons with parallel vector fields / Ricci solitonları ve paralel vektör alanları Yazar:MERVE Danışman: PROF. DR. SEZGİN ALTAY DEMİRBAĞ Yer Bilgisi: İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ / FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ / MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI / Makine Mühendisliği Bilim Dalı Konu:Matematik = Mathematics Anahtar Kelime:	Onaylandı Yüksek Lisans İngilizce 2018 69 s.
Geometri esas olarak evrenin küçük bir noktadan dev bir kara deliğe kadar matematiksel yorumudur. Objeleri, doğrular, eğriler ve açılar cinsinden ifade edip, analiz yapmaya yardımcıdır. Riemann geometrisi, daha kompleks yapıları anlamadaki öneminden ötürü matematiğin göze çarpan bir dalı olmuştur. Geometriye getirdiği yeni kavramlar sayesinde yüksek boyutlu eğimli yüzeylere sahip uzaylar üzerinde çalışmak daha kolay hale gelmiştir. Lokal olarak Öklid uzaylarına benzeyen, türetilebilir Riemann manifoldları bu alanda çalışırken kullandığımız en temel yapılardır. Bu objeler daha kompleks uzayları, iyi bildiğimiz, nispeten basit Öklid uzayları yardımıyla anlamamızı sağlar. Sadece matematikte değil, klasik mekanik ve genel görelilik gibi fiziğin birçok alanında da kullanılan bir konsepttir. Geometriciler, bir manifold üzerindeki en iyi Riemann yapısını bulmaya çalışmışlar ve sonrasında en iyi yapının sabit eğrilikli manifoldlarda bulunduğu gösterilmiştir. Bir manifold üzerindeki eğriliği hesaplamak için iki temel araç kullanılmıştır; Riemann eğrilik tensörü ve Ricci tensörü. Geçtiğimiz yüzyılda, bazı bilim insanları bu araçlar yardımıyla daha kompleks yapıları tasvir edebilmek için yeni kavramlar tanımlamışlardır. Bu yeni kavramlar Perelman'ın bir asır boyu cevapsız kalmış olan ünlü Poincaré sanısını Ricci akışı yardımıyla çözmesine yardımcı olmuştur. Gradiyent Einstein tipi manifoldlar, yarı Einstein manifoldları, ve Ricci solitonları gibi arkasında derin fiziksel anlamlar barındıran yapılar hakkında hala bilinmeyen birçok şey bulunmaktadır. Bu alanda katkılı olabilmek adına, biz Ricci solitonlara örnek olabilecek bazı özel yapıları gradiyent Einstein tipi manifoldlar üzerinde araştırdık. Tezin giriş bölümünde, bu oluşumların nereden çıktığını, niye böyle tanımlamalara ihtiyaç duyduğumuzu ve arkalarında yatan geometrik yorumu cevaplamaya çalıştık. Konuları Einstein manifoldlarından başlayarak Ricci solitonlarına kadar tarihi ilerleyişine göre ele aldık. Bölüm içinde bu alanlara katkıda bulunmuş bazı değerli matematikçilerden de bahsettik. Son olarak, çalışmanın amacı, bazı çokça bilinen geometrik kavramları ilişkilendirmek olarak verildi. İkinci bölümde, Riemann geometrisi üzerine genel bilgiler ile ilgilendik. Öncelikle, bölgesel olarak Öklid uzaylarına benzeyen, türetilebilir manifoldların tanımını verdik. Sonrasında, bu manifoldların sahip olduğu topolojik özelliklerden bahsettik. Kovaryant türev, katlı çarpım gibi ilerleyen bölümlerde sıkça kullanacağımız işlemlerin tanımlarını verdik. Daha sonra, türetilebilir manifoldlar üzerindeki eğimleri incelemek için, uzaklık fonksiyonu diyebileceğimiz "g" Riemann metriğinin tanımlı olduğu gösterdik. Dahası, bu metrikten elde edilen Riemann eğrilik tensörünün daraltılması ile başka önemli bir araç olan Ricci tensörü elde ediliyor. Bu alandaki Einstein manifoldları gibi birçok manifold Ricci tensörünün yapısına göre çeşitlendiriliyor. Bu açıdan çalışmamızın temel taşını oluşturuyor. Riemann geometrisini çalışmak için gerekli diğer benzer araçlar da tezin ilgili kısmında ayrıntılı olarak işlenmiştir. Bu temel bilgiler baz alınarak ilerleyen bölümlerdeki yapılar oluşturulmuştur. Üçüncü bölümde, tezin temel konularına giriş yapılmıştır. Biliyoruz ki, Ricci tensörünün metrik tensörüyle orantılı olduğu manifoldlara Einstein manifoldları deniliyor. Bu manifoldlar, uzay-zaman düzleminde bir kütle tarafında yaratılan çekim gücünü açıklamaya çalışan Einstein'ın ünlü alan denklemleriyle yakından ilişkilidir. Bu açıdan birçok matematikçi ve fizikçinin ilgisini çekmektedir. Einstein manifoldları üzerindeki en değerli çalışmalardan biri M. C. Chaki ve R. K. Maity tarafından yürütülmüştür. 2000 yılında, Einstein manifoldlarının genelleştirilmiş konsepti olan yarı Einstein manifoldlarını, bir sonraki sene de genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldlarını tanıtmışlardır. Genel göreliliğin anlaşılması ve modellenmesi bu bağlamda kolaylaşmıştır. Einstein manifoldları ve yarı Einstein manifoldları, ilgili Ricci tensörlerinin yapısına göre tanımlanmıştır. Sonrasında, manifoldları üzerlerinde belli koşulları sağlayan bir X vektör alanına sahip olmaları haline göre gradiyent Einstein tipi manifoldlar ve onların sınıflandırılması olarak çeşitlendirilmiştir. Çalışmanın devamında, çeşitli örnekler ve yakın zamanda ispatlanmış teoremler verilmiştir. Ayrıca, eğrilik kavramını farklı açılardan değerlendirmek için Weyl tensörü ve onunla ilişkili Cotton, Bach, Schouten tensörlerinden bahsedilmiştir. Bu tensörlerin birbiriyle ilişkisi bazı önemli önsav ve teoremler aracılığıyla gözlemlenmiştir. Bir sonraki bölümde, ünlü Poincaré sanısının çözümündeki rollerinden dolayı popülerliği artmış Ricci akışı ve Ricci solitonları ele alınmıştır. Uzun yıllar çözülememiş sanı şunu iddia etmekteydi; her basit bağıntılı, kapalı, 3 boyutlu manifold ile 3-küre arasında bir homeomorfizma vardır. Sonrasında, bu sanının daha genel hali olan Thurton'ın geometrikleştirme sanısı her 3 boyutlu kompakt manifoldu sınıflandırmayla ilgiydi. Bu problemlerin çözümüyle ilgili en büyük adım 1982'de Ricci akışını literatüre kazandıran Hamilton tarafından atılmıştır. Geçtiğimiz yıllarda, Perelman Ricci akışını kullanarak Poincaré sanısını (artık teorem) ispatlamıştır. Yeni bir kavram olan Ricci solitonları bu şekilde ortaya çıkmıştır. Ricci solitonları, Ricci akış denkleminin kendi kendine benzer çözümleridir. Bu bölümde gradiyent Ricci solitonunu veren denklem ilerleyen bölümlerde kullanılmak üzere analiz edilmiştir. Ek olarak, bu alan ile ilgili şimdiye kadar yapılmış literatürdeki çalışmalar taranmış, teorem ve örnekler yardımıyla paylaşılmıştır. Son bölümde, kendi çalışmamız üzerine yoğunlaşıp, sonuçlarımızı güncel çalışmalarla ilişkilendirdik. Literatüre baktığımızda, Einstein tipi yapılara sahip Riemann manifoldlarının Ricci soliton örneği bulmak için araştırıldığını görüyoruz. Genelleştirilmiş Einstein manifoldlarından Ricci solitonlarına geçişte, Ricci tensörü, Hessian tensörü, ve tensör çarpımından olu¸san m-Bakry-Emery-Ricci tensörünün kullanıldığı görülmektedir. Bu tezde, çeşitli Einstein tipi manifoldlarda paralel vektör alanı tanımlandığında Ricci soliton yapısı elde edilip edilemeyeceği araştırılmıştır. Üzerinde paralel vektör alanı tanımlanmış bir gradiyent Einstein tipi manifoldun, sabit skaler eğrilikli Ricci soliton ve yaklaşık yarı Einstein yapılarına sahip olduğu gözlemlenmiştir. Sonucunda da, bu yapının konuyla ilgili bilinen temel teoremlere uyumlu olup olmadığı kontrol edilmiştir. H. D. Cao ve Q. Chen'in çalışmaları yardımıyla, boyutu 5 ve 5'ten büyük olan manifoldların bazı koşullar altında harmonik Weyl tensörüne sahip olduğu ve Z. Hu, D. Li ve S. Zhai'nin çalışmalarıyla ilişkilendirildiğinde bir aralık ile (n-1) boyutlu bir Einstein manifoldunun katlı çarpımına isometrik olduğu görülmüştür. Son olarak da, bu yapıya örnek olarak 3 boyutlu, Bach düz yapıya sahip bir manifold verilmiştir.
The Riemannian geometry has been an outstanding branch of mathematics due to its importance in understanding many geometrical structures. In the last century, some scientists have introduced new concepts to describe more complex structures. The new improvements helped Perelman to solve Poincaré conjecture by using the Ricci flow. There are still lots of unknowns in the associated topics such as gradient Einstein-type manifolds, quasi-Einstein manifolds, and Ricci solitons which are examples for the most significant ones. To contribute to the field, we have tried to find some special structures as instances for the Ricci solitons. In this thesis, we started with the introduction chapter which is composed of simple answers for how these new objects emerge, why we need them, and what is the geometric meaning behind. The subjects which range from Einstein manifolds to Ricci solitons have taken in hand according to the historical developments. Some mathematicians who had contributed to the field mentioned throughout the chapter. At the end, the aim of this study which try to relate some famous geometric concepts is given. In the second chapter, we have dealt with the basic knowledge on the Riemannian geometry. Firstly, the definition of differentiable manifolds that are smooth, locally Euclidean spaces is given. Then, some topological properties which belong to these manifolds are mentioned. It is known that the Riemannian metric g, a distance function, defined on differentiable manifolds to be able to examine curvatures. Moreover, the Riemann curvature tensor which is obtained from the metric g gives another significant instrument,the Ricci tensor, by contraction. The tools like these to study the Riemannian geometry are described in detailed. Later on, we built up all the work on this knowledge. In the third chapter, we entered the main subjects of the thesis. Einstein manifolds and quasi-Einstein manifolds are defined with respect to the Ricci tensor. Afterwards, gradient Einstein-type manifolds and their classifications are introduced in the existence of some vector field X on the manifold. Several examples and couples of recent theorems are given in the following. Also, the trace-freeWeyl tensor, and related Cotton, Bach, Schouten tensors are mentioned to consider the concept of curvature in different ways. The relations between these tensors are observed through some important lemmas and theorems. In the next chapter, Hamilton's Ricci flow and Ricci solitons which are very popular topics because of the Poincaré conjecture are taken in hand. The equation for the gradient Ricci soliton is analyzed for the next chapter. Additionally, the cumulative knowledge in the literature up to now has been shared with the help of theorems and examples. In the last chapter, we have discussed the results of our study, and related them with the recent works of other colleagues. It has been searched for the Ricci soliton structure after admitting parallel vector field on various types of Einstein manifolds. Then, this case is checked out if it fits to the well-known theorems of the topics. The outcomes of the research are noteworthy in a way that the studied structure sets an example for the recent findings on the topic.