Stokes akışı, bir başka ismiyle düşük Reynolds sayılı akışlar, atalet kuvvetlerinin
viskoz kuvvetlere oranla çok küçük ve ihmal edilebilir olduğu akışlardır. Bu
tip akışlarda Reynolds sayısı (atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranını
gösteren boyutsuz sayı) birden çok küçüktür. Stokes akışının literatürdeki çeşitli
uygulamalarından bazıları kılcal damarlardaki kan akışı, damlacık parçalanması, çok
parçacıklı akışlar, sedimantasyon ve bakteri, kan hücresi, mikro robotlar gibi mikro
yüzücüler etrafındaki akışlardır.
Son yıllarda sınır integral yöntemleri, Stokes akışı gibi küçük Reynolds sayılı
akışların davranışlarını anlamak için çok güçlü birer teknik haline gelmişlerdir. Bu
yöntemin üç boyutlu Stokes akışına uygulanması ilk olarak Youngren ve Acrivos
(1975) tarafından, tek bir katı parçacık etrafındaki akışın, parçacık yüzeyindeki
Stokeslet dağılımı ile yapılmıştır. Ardından yöntem farklı birçok akış problemi için
uyarlanmıştır. Bunlardan bazıları, şekil değiştiren damla ve kabarcıklar etrafındaki
akış, katı cisimlerin süspansiyon akışları, gözenekli ortamlardaki mikroskobik akışlar,
kırmızı kan hücrelerinin deformasyonu ve mikroskobik organizmaların akışkan
içindeki hareketidir.
Sınır integral yöntemlerinin başlıca avantajlarından birisi tamamen üç boyutlu olan bir
akış problemini, yüzey elemanlarının kaynak dağılımlarını kullanarak iki boyutlu bir
probleme dönüştürmesidir. Böylece hacim için çözüm ağı oluşturmaya gerek kalmaz.
Ayrıca dış akış problemleri için uzak sınır koşulları tamamen sağlanmış olur. Ancak
bu yöntemlerin bazı dezavantajları da mevcuttur. Bunlardan ilki algoritma sonucu
büyük yoğun matrislerden oluşan cebirsel denklem sistemi oluşur ve bu sistemi
paralel makinalarla çözülmesı oldukça zordur. İkinci olarak, integral formülasyonda
tekillikler oluşmaktadır. Bu tekillikler özel uygulamalar gerektirmektedir.
Mevcut çalışmada üç boyutlu Stokes akışı için sürekli parametrik yüzeyler kullanılarak
bir sınır integral eleman yöntemi geliştirilmiştir. İlk olarak, akışkan hareketinin temel
denklemleri olan Navier-Stokes denklemleri sıkıştırılamaz ve Newtonian akışkan
kabulü yapılarak yeni bir forma getirilmiştir. Ardından bu denklem sistemi boyutsuz
parametreler kullanılarak boyutsuzlaştırılmıştır. Boyutsuz denklem Reynolds sayısının
birden çok küçük olması durumu için tekrar düzenlenerek Stokes akışı için süreklilik
ve momentum denklemleri çıkartılmıştır.
Stokes akışı için momentum denklemi sabit katsayılı lineer bir diferansiyel denklem
olduğundan temel çözümü mevcuttur. Hız ve gerilim vektörleri için bu temel
çözümleri elde edildikten sonra Stokes denklemleri sınır integral denklemine
dönüştürülür. Bu çalışmada, sınır koşulları olarak yüzeylerdeki hızlar verildiğinden
elde edilen denklemler birinci tip Fredholm denklemleridir. Bu tip denklemler
"ill-conditioned" denklemler olmasına rağmen integral denklem yöntemlerinde
yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunun nedeni integral içindeki terimlerin bazı özel
durumlarında bu "ill-conditioned" durumunun düzeltilebilir olmasıdır.
Elde edilen formülasyonun sayısal olarak çözülebilmesi için çözüm alanı dörtgen
sonlu elemanlara ayrıklaştırılmış ve denklemler her bir eleman için çözülmüştür.
Çözümün düzgün bir dağılım göstermesi için bu elemanların kesişim yerlerinde
sürekliliğin sağlanması gerekmektedir. Bu amaçla her eleman üzerinde sürekli
yüzeylerin tanımlanması gerekmektedir. İki boyutlu elemanlara uygulanabilecek
sürekli yüzeylerden bir tanesi bi-kübik Hermite yüzeylerdir. Elemanlar üzerinde
Hermite yüzeyleri tanımlayabilmek için nokta koordinatlarının ve eğimlerin bilinmesi
gerekmektedir. Noktaların koordinatları çözüm ağı bilgisinden gelmektedir, bu
noktalardaki eğimler ise noktalardaki normal vektörü kullanılarak hesaplanmaktadır.
Ancak bu hesaplamanın yapılabilmesi için çözüm ağındaki her bir nokta için tek
bir normal vektör olması gerekmektedir. Bunu sağlamak üzere, literatürde normal
vektörü hesaplama algoritmaları karşılaştırılmış ve en uygun yöntem seçilmiştir. Bu
yöntem, eleman kenar uzunlukları ve aralarındaki açıları kullanan bir algoritmadır
Denklemlerdeki integrallerin de sayısal olarak hesaplanması gerekmektedir. Ancak
elde edilen integral denklemler bazı noktalarda tekillik göstermektedir. Tekil
olmayan integraller hesaplanırken klasik Gauss-Legendre yöntemi kullanılmıştır.
Gauss-Legendre yönteminde dörtgen üzerinde belirli sayıda hesaplama noktaları ve
bu noktalar için ağırlıklar belirlenir ardından fonksiyonun eleman üzerindeki dağılımı
hesaplanır. Bu çalışmada 4 noktalı Gauss-Legendre yöntemi (n = 4) kullanılmıştır,
böylece elemanlar üzerinde toplam 16 hesaplama noktası bulunmaktadır.
Tekil fonksiyonların integrasyonu analitik olarak veya özel sayısal yöntemler
kullanılarak hesaplanabilir. Sayısal integrasyon yöntemleri genellikle değişken
dönüşümü yöntemlerine dayanır. Böylece elemanlar üzerindeki hesaplama noktaları
tekilliğin olduğu nokta civarına kaydırılır. Yapılan literatür araştırmasının ardından
tekil integraller için tanh-sinh yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntem [-1;1] olan integral
aralığını [-∞,∞] olarak değiştirir. Böylece hesaplama noktaları tekilliğin olduğu
noktaya kaydırılarak tekillik giderilir. Eleman üzerinde kaç hesaplama noktası olacağı
bu yöntemin seviyesine (m) bağlıdır. Bu çalışmada problemin hassasiyetine göre 2-4
arası seviyeler kullanılmıştır. m = 2 için eleman üzerinde 21x21, m = 4 için 87x87
nokta bulunmaktadır.
Elde ettiğimiz sayısal algoritma ilk olarak sabit duran tek küre etrafındaki akış için
uygulanmıştır. Bu problem için faklı eleman sayılarına sahip üç farklı çözüm ağı
denenmiştir. Bulunan sayısal sonuçlar analitik çözüm ile karşılaştırılmış ve eleman
sayısının artmasıyla çözümün analitik çözüme oldukça yaklaştığı görülmüştür.
İkinci olarak algoritma yer çekimi etkisinde serbest düşen küreler için denenmiştir.
Öncelikle tek başına düşen küre için çözüm yapılmıştır. Bu çözümün doğruluğunu
karşılaştırabilmek için ilk problemde bulunan sürükleme kuvveti bu problemde ağırlık
olarak verilmiştir. Böylece kürenin belirli bir zamandan sonra ilk problemdeki sabit
hıza ulaşması beklenmiştir ve sonuçlar beklenildiği gibi çıkmıştır. Ardından yer
çekimi etkisindeki iki küre problemi ele alınmıştır. Literatürde bulunan bir test
problemi denenmiş ve sonuçlar karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonucu çözümlerin
yakın olduğu görülmüştür. Bunun üzerine iki küre problemi farklı bir konfigürasyon
için uygulanmıştır.
Son olarak üç küre problemi incelenmiştir. Başlangıçta hareketsiz ve yan yana
duran üç küre serbest düşmeye bırakılmıştır. Çözümün ardından ortadaki kürenin
diğer ikisine göre daha hızlı düştüğü ve diğerlerinin birbirine yaklaştığı görülmüştür.
Literatürdeki önceki çalışmalar da bu şekilde sonuçlar vermektedir. Ancak zaman
ilerledikçe yanlarda duran kürelerin birbirine iyice yaklaştığı ve sonunda birbirinin
içine geçtiği görülmüştür. Bunun nedeni viskoz akışlarda birbirine çok yaklaşan
cisimlerin arasında oluşan yağlama kuvvetleridir. Bu kuvvetlerin sayısal olarak
yakalanabilmesi için cisimler birbirine yaklaştığında çözünürlüğün artırılması ve
zaman adımının düşürülmesi gerektiği görülmüştür.
Bu çalışmanın amacı bi-kübik Hermite polinomları ve tanh-sinh yöntemini
beraber kullanarak, integral denklem yöntemine dayalı stabil bir Stokes çözücüsü
geliştirmektir. Sayısal algoritma için, yüzeyler üzerinde düzensiz dörtgen elemanlar
kullanılmıştır ve bilinmeyen fonksiyon değerleri elemanların köşe noktalarına
dağıtılmıştır. Zamanda birinci dereceden geri yönde farklar yöntemi ile ayrıklaştırma
yapılmıştır. Tüm hesaplamalar Intel(R) Core(TM) i7-2770 340 Ghz işlemcili ve 16
GB hafızaya sahip bir masaüstü bilgisayarda yapılmıştır.
|
An integral equation method has been developed to solve the three-dimensional Stokes
flow using a quadrilateral Hermite based function approach to the boundary integral
equation method. Then the numerical solutions are obtained by utilizing the boundary
collocation method as well as the continuous distribution of Stokeslets, which are the
fundamental solutions of the steady Stokes equations.
The solution domain is divided into unstructured quadrilateral finite elements and the
equations for the velocity and the pressure are solved on each element on the boundary surface.
As an advantage of the boundary integral equation method, there is no need to construct
a volume mesh, therefore the solution of full three dimensional problem is reduces to a
two dimensional problem.
In order to get smooth distribution in the numerical solution, the quadrilateral surface
elements are represented by continuous parametric surfaces based on the bi-cubic Hermite
functions that allows the continuous variation of the surface normal vectors between
neighbouring elements. The problem of unique normal vectors at the vertices are solved
by using the Mean Weighted by Sine and Edge Length Reciprocal (MWSELR) method after a
comparison of vertex normal computation algorithms in the literature.
The kernels of the integral equations have singularities. In order to calculate such
singular integrals the tanh-sinh quadrature method is used. Non-singular integrals are
evaluated using the Gauss-Legendre quadrature rule.
The numerical algorithm is initially validated for the three-dimensional unbounded Stokes
flow around a sphere and the results are compared with the analytical solution. Then the
algorithm is applied to the sedimentation of spherical particles. For the time discretization,
first order backward differencing is employed. |