Tez No	İndirme	Tez Künye	Durumu
143102	Bu tezin, veri tabanı üzerinden yayınlanma izni bulunmamaktadır. Yayınlanma izni olmayan tezlerin basılı kopyalarına Üniversite kütüphaneniz aracılığıyla (TÜBESS üzerinden) erişebilirsiniz.	H∞ model eşleme probleminin lineer matris eşitsizlikleri yaklaşımı ile çözümü / The solution of the H∞ model matching problem via linear matrix inequalities Yazar:MURAT AKIN Danışman: PROF. DR. LEYLA GÖREN Yer Bilgisi: İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Kontrol ve Bilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı Konu:Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol = Computer Engineering and Computer Science and Control Dizin:	Onaylandı Doktora Türkçe 2003 102 s.
Hoo model eşleme, H» kontrol teorisinin önemli problemlerinden birisidir. Problem, Tm(s)-T(s)R(s)'nin H» normunu minimum yapan nedensel ve kararlı bir önkontrolör (precompensator) yani R(s)eRRc bulmaktır. Burada Tm(s) model sistemin transfer fonksiyonları matrisi, T(s) ise kontrol edilmek istenen sistemin transfer fonksiyonları matrisidir. Bir transfer fonksiyonları matrisinin H«, normu, maksimum tekil değerinin frekans üzerinden supremumudur. Burada T(s)R(s)'nin davranışı, aşağıda belirtilen Yopt'e göre model sistemin transfer fonksiyonları matrisi Tm(s)'ye eşlenmeye çalışılmaktadır; I opt = inf R(s)eRH" ||Tm(s)-T(s)R(s)L (1) Hoo model eşleme problemi üzerine geçmişte yapılmış bazı çalışmalar vardır: Bu çalışmalarda problem önce Nevanlinna-Pick Problemi'ne veya Nehari Problemi'ne indirgenmekte sonra bu problemlerin çözümü için bulunan yöntemler kullanılarak (l)'de tanımlı yopt elde edilmekte ve daha sonra da kontrolör R(s) tasarlanmaktadır. Son dönemde kontrol teorisinde pek çok problem, lineer matris eşitsizlikleri ile tekrar ele alınıp çözülmüştür. Bu çalışmada dinamik ve statik durum geribeslemesi ile R» model eşleme problemi, önce standart Ho, optimal kontrol problemine indirgenmekte daha sonra R» optimal kontrol probleminin lineer matris eşitsizlikleri ile çözümü için geliştirilen yöntemlerden yararlanılarak çözülmektedir. Şekil l'de sürekli R» model eşleme probleminin sürekli R» optimal kontrol problemine indirgenmesi gösterilmektedir. w(t)- t-nr >z(t) Şekil 1 Standart R» model eşleme probleminin blok diyagramı.Sürekli HU model eşleme problemini, lineer matris eşitsizlikleri yaklaşımı ile çözebilmek için durum uzayı denklemlerini sürekli ü» optimal kontrol problemine indirgemek gerekmektedir. (A,B,C,D), kontrol edilmek istenen sistem T(s)'nin; (F,G,H,J) ise model sistem Tm(s)'nin herhangi durum uzayı denklemleri olsun; T(s): dx(t) dt = Ax(t) + Bu(t) ys(t) = Cx(t) + Du(t) (2) (3) Tm(s): dq(t) dt = Fq(t) + Gw(t) ym(t) = Hq(t) + Jw(t). (4) (5) Yukarıda u(t)eRm, kontrol işaretlerini, w(t)eRm ise referans girişlerini göstermektedir. Ayrıca x(t)eR\ q(t)eRn,\ ys(t)eRp ve ym(t)?Rp şeklindedir. Kontrolör transfer fonksiyonları matrisi R(s); U(s)=R(s)W(s) (6) ilişkisi ile belirlenmektedir. Aşağıdaki denklemler sürekli H» model eşleme problemini sürekli EL, optimal kontrol problemine indirgeyen durum uzayı denklemleridir; dt x(t)ljA 0Tx(t) q(t)| I 0 Fİq(t) 0 G w(t) + u(t) (7) z(t) = [-C Hf^j + Jw^-DuCt) (8) y(t) = w(t). (9) Burada sürekli H» model eşleme problemini çözen R(s) kontrolörü, sürekli H», optimal kontrol problemini çözen K(s) kontrolörü ile aynıdır. Aşağıdaki lemma yardımı ile sürekli HU, model eşleme problemini çözen 3 lineer matris eşitsizliği, tek lineer matris eşitsizliğine indirgenebilmektedir. Lemma 1 A, X ve Y kare ve C herhangi matrisler ve yeR olsun. Eğer A'nın bütün özdeğerleri sol yan açık s düzleminde yani Hurwitz ise verilen her y>0 ve Y>0 çifti için, aşağıdaki eşitsizlikleri aynı anda sağlayan bir X>0 matrisi her zaman bulunabilir; A*X + XA + -C*C<0 Y (10) X-Y-1>0. Bu durumda şu teoremi vermek mümkün olmaktadır: (11) Teorem 2 (A,B,C,D), T(s)'nin yani kontrol edilmek istenen sistemin, (F,G,H,J) ise Tm(s)'nin yani model sistemin herhangi durum uzayı matrisleri, T(s)eRHa, ve Tm(s)eRHoo olsun. Sürekli H» model eşleme problemini çözen yani I |Tm(s)-T(s)R(s) | |oo0 matrisinin bulunmasıdır; 0 [o fJ 1,0 fJ (-C h)y (0 O') Y H* Ylp J -yi. Nc 0 <0. (12) Burada Nc tam kolon ranklıdır öyle ki; ImNc=Ker[B* 0^ -D*]. (13) Aşağıdaki teorem ise (12) lineer matris eşitsizliğini çözerken başlanabilecek y değeri hakkında bir bilgi vermektedir: Teorem 3 v =R(sLjTm(s)-T(s)R(s)L ^It^L- (14) Lineer matris eşitsizliklerini çözerken MATLAB'a ilişkin "The LMI Control Toolbox" gibi yazılımlar kullanılır. Statik durum geribeslemesi ile EL» model eşleme problemini lineer matris eşitsizlikleri ile çözebilmek için yine önce H«, optimal kontrol problemine indirgemek gerekmektedir. Şekil 2'de, statik durum geribeslemeli H«, model eşleme probleminin H» optimal kontrol problemine indirgenmesi gösterilmektedir.w(t) + P(s) yit) u(t) M + + D (sI-A) B x(t) ++i yB(t) *> L \^ -2(t) Şekil 2 Statik durum geribeslemeli Hoo model eşleme probleminin blok diyagramı. Aşağıdaki denklemler sürekli H» model eşleme problemini sürekli H« optimal kontrol problemine indirgeyen durum uzayı modelidir; dt x(t)" q(t) A 0Tx(t)" 0 Fj|q(t) w(t) + u(t) (15) z(t) = [-C HfX(t) 1 İq(t)J + Jw(t)-Du(t) (16) y(t) = w(t). (17) Yukarıda u(t)eRm, kontrol işaretlerini, w(t)eRm ise referans girişlerini göstermektedir. Ayrıca x(t)e Rn«, q(t)e RDm, ys(t)6Rp ve ym(t)eRp şeklindedir. Statik durum geribeslemesi ile sürekli Hoo model eşleme problemini lineer matris eşitsizlikleri ile çözen sentez teoremi aşağıdaki gibi verilebilir. Teorem 4 (A,B,C,D), T(s)'nin yani kontrol edilmek istenen sistemin, (F,G,H,J) ise Tm(s)'nin yani model sistemin herhangi durum uzayı matrisleri, (A,B) kararlılaştırılabilir ve Tm(s)eRHoo olsun. K=[L M] statik durum geribeslemesi ile Aei matrisinin kararlı ve j [ Xzw(s) ] [ oc^^y olmasının gerek ve yeter koşulu aşağıdaki iki Xj X2 lineer matris eşitsizliğini çözen Xcl X2 X3 > 0 matrisinin bulunabilmesidir;F*X3+X3F + -H*H<0 (18) N0 0 0 L (A 0} 0 F Xcl +Xcl Vu V 'A oY O F X" J (-c HXr1 (0 O') -Yip J* '°1 J -Ylm Nc 0 0 L <0. (19) Burada Nc tam kolon ranklı bir matristir öyle ki; ImNc=Ker[B' 0^ -D*]. (20) Bu çalışmada ayrıca dinamik ve statik durum geribeslemesi ile H» model eşleme problemini çözen kontrolör tasarım algoritmaları verilmiş, yapılan tüm çalışmalar ayrık sistemler için de tekrarlanmıştır.
The HU, model matching is an important problem in H» control theory. The problem is to find a causal and stable precompensator R(s), i.e., R(s)eRHoo, that minimizes the H» norm of Tm(s)-T(s)R(s). Here, Tm(s) and T(s) are the model and the system transfer matrices, respectively. The H», norm of a transfer matrix is the maximum of its largest singular value over all frequencies. This means that the performance of the controlled system T(s)R(s) is approximated to the desired performance given as Tm(s) according to yopt, in the sense of the following criterion; In the literature, there are some different solutions of the H» model matching problem: In these approaches, the H» model matching problem has been reduced to the one of The Nevanlinna-Pick Problem or The Nehari Problem. By using the results on the solution of The Nevanlinna-Pick Problem or The Nehari Problem, first the value yopt defined in (1) is found and then the controller transfer matrix R(s) is obtained. Recently, a lot of problems in control theory have been examined and parameterized via linear matrix inequalities. In this study, it is shown that the H» model matching problem with a feedforward controller and a static state feedback controller can be considered as a special case of the standard H« optimal control problem and then they are solved by using the solution methods of the H« optimal control problem. In Figure 1, it is shown that the continuous-time H» model matching problem can be considered as a continuous-time H» optimal control problem.w(t) ?>2(t) Figure 1 The block diagram of the standart H» model matching problem. In order to solve the continuous-time H«, model matching problem via linear matrix inequalities approach, the problem should be reformulated as a continuous- time Hoo optimal control problem in the state-space equations. We shall consider any realizations (A,B,C,D) of T(s), namely controlled system, and (F,G,H,J) of Tm(s), namely model system, so the state-space equations of these systems can be given as follows; T(s): dx(t) dt = Ax(t) + Bu(t) ys(t) = Cx(t) + Du(t) (2) (3) T«(s): dq(t) dt = Fq(t) + Gw(t) ym(t) = Hq(t) + Jw(t). (4) (5) where the control input u(t)eRm and the reference input w(t)eRm. Moreover x(t)e Rn», q(t)e Rn-, ys(t)eRp and ym(t)eRp. The controller transfer matrix R(s) is defined by; U(s)= R(s)W(s). (6) The following relations show that the continuous-time H» model matching problem can be reduced to the continuous-time H» optimal control problem; u(t) (7) z(t) = [-C H t x(t)' q(t) + Jw(t)-Du(t) (8) y(t) = w(t). (9) Here, the controller R(s) which solves the continuous-time H«, model matching problem, equals to the controller K(s) which solves the continuous-time HU optimal control problem. The existing conditions of the problem based on the solutions of three linear matrix inequalities can be reduced to the solution of only one linear matrix inequality by using the following Lemma. Lemma 1 Suppose that A, X and Y are square matrices, C is any matrix and y?R. If the matrix A is Hurwitz, i.e., all eigenvalues of the matrix A are on the open left s plane, then for every pair of y>0 and Y>0, there always exists a matrix X>0 such that holds the following inequalities; A*X + XA + -C*C<0 Y (10) X-Y"1 =>0. (11) Then we can state the following theorem: Theorem 2 Suppose that (A,B,C,D) is any state-space equations of the controlled system T(s), (F,G,H,J) is any state-space equations of the model system Tm(s), T(s)eRHoo and Tm(s)6RHco. A nK>n ordered controller R(s) which holds ||Tm(s)- T(s)R(s)||oo0 such that; Nc 0 0 L *\ (0^ J -yim nc o 0 L <0 (12) where Nc is a full column rank matrix with; ImNc=Ker[B* 0^ -D'\ (13)The following Theorem provides us a starting point of y in solving linear matrix inequality (12). Theorem 3 The following inequality always holds; Y* =R(i^LjlTm(s)-T(s)R(s)L wool en) "The LMI Control Toolbox" of MATLAB is used to solve any linear matrix inequalities. In order to solve the H» model matching problem with static state feedback, the problem must also be reduced to an H«, optimal control problem. In figure 2, it is shown that the H*, model matching problem with static state feedback is considered as an H» optimal control problem. W(t) + u(t) M D rOH (sl-A)1]B +T ; x(t) ++ *> L P(s) yjt) y.(t) ?z(t) Figure 2 The block diagram of the ü» model matching problem with the static state feedback. The following equations show the state-space equations reduce the continuous-time Ha, model matching problem to a continuous-time H*, optimal control problem; u(t) (15) (16) (17) where the control input is u(t)eRm and the reference input is w(t)eRm. Moreover x(t)e Rn°, q(t)e Rn», ys(t)eRp and ym(t)eRp. The synthesis theorem on the linear matrix inequalities based solution of the E» model matching problem with static state feedback is given as follows. Theorem 4 Suppose that (A, B, C, D) is any state-space equations of the controlled system T(s), (F, G, H, J) is any state-space equations of the model system Tm(s), (A,B) is stabilizable, Tm(s)eRH«>. A static state feedback K=[L M] exists such that the matrix Ad is stable and ||Tzw(s)jjQ0 0 such that; F*X3+X3F + -H'H<0 7 (18) 0 (A Q\ 0 F Xcl +Xcl (A 0^ (-C HjX/1 (0 O') 0 F) X, -c* J* '°1 J Nc 0 <0 (19) where Nc is a full column rank matrix with; ImNc=Ker[B* 0^ -D*]. (20) Moreover, in this study, the synthesis algorithms of the controllers for the H» model matching problem with dynamic and static state feedbacks were given. Similar results for discrete-time systems were also obtained by using the same approach.